距离空间，线性空间，赋范线性空间，$Banach$ 空间，内积空间，$Hilbert$ 空间内在关系分析
先来看一下五类空间的定义
1.(距离空间) 设$X$是某些元素组成的集合。如果对任意$x,y \in X$，按照一定的法则确定一个非负实数$d(x,y)$，且满足：
(1)非负性：$d(x,y) \ge 0$，且$d(x,y) = 0 \Longleftrightarrow x=y$；
(2)对称性：$d(x,y)=d(y,x)$；
(3)三角不等式：$\forall x,y,z \in X$，有$d(x,y) \le d(x,z)+d(z,y)$；
满足上述条件的二元实函数$d( · , · ): X \times X \to R^{1} $叫作$X$上的距离，$X$称为距离空间。
（注：在一个距离空间(即满足三条公理)中，如果它的每一个基本列都收敛(即每个基本列都收敛)，则成为完备的距离空间）。
2.(线性赋范空间) 设$X$是实数域(或复数域)$\Lambda$上的线性空间。在$X$上定义映射$X \to R^{1}: x \to \Arrowvert · \Arrowvert$。若$\forall x,y \in X, \alpha \in \Lambda$满足：
(1)正定性：$\Arrowvert x \Arrowvert \ge 0 \Longleftrightarrow x=0$，
(2)正齐性：$\Arrowvert \alpha x \Arrowvert = \arrowvert \alpha \arrowvert \Arrowvert x \Arrowvert$；
(3)三角不等式：$\Arrowvert x+y \Arrowvert \le \Arrowvert x \Arrowvert + \Arrowvert y \Arrowvert$；
则称$\Arrowvert x \Arrowvert$为$x$的范数，称$(X, \Arrowvert · \Arrowvert)$为线性赋范空间
3.(Banach空间) 设$X$是一线性赋范空间。如果$X$按照距离$d(x,y)=\Arrowvert x-y \Arrowvert$是完备的，则称X为巴拿赫空间。
4.(内积空间) 设$U$是是数域$\Lambda$上的线性空间。定义映射$U \times U \to \Lambda$，对任何$x,y,z \in U, \alpha \in \Lambda$，满足：
(1)线性性质：$(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$；
(2)线性性质：$(\alpha x,z) = \alpha (x,z)$；
(3)复共轭：$(x,y)= \overline{(y,x)}$；
(4)$(x,x) \ge 0,(x,x)=0 \Longleftrightarrow x=0$；
则称$(x,y)$为$x,y$的内积，定义了内积的线性空间$U$称为内积空间。
5.(Hilbert空间) 设$U$是内积空间，若$U$按照由内积导出的范数$\Arrowvert x \Arrowvert = {(x,x)}^{1 \over 2}$成为Banach空间，就称$U$是Hilbert空间，即为$H$。
就上述的定义画出五个空间之间的内在联系
